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ｋ２ ２０１２のその他の情報
Question:
(k+1)(x-1)^2+6x=0
が2つの異なる実数解を持つときの定数kの範囲はどうなりますか？
また、2つの実数解の差が2√5であるときのkの値は何ですか？
Answer:
ひゃあ……思った以上に面倒な問題ですね。
まず(k+1)(x-1)^2+6x=0を展開します。
そして整理すると、
(k+1)x^2-2(k-2)x+k+1=0
になります。
これで、２つの異なる実数解を持つという条件から、
判別式が正のときを考えればいいです。
xの項が2倍なので、Ｄ’＝b^2−acの方を使った方が楽ですね。
(k-2)^2-(k+1)^2>0
展開するとk^2の項が消えて、
-6k+3>0
k<1/2
と、解くことができますが、もう一つ注意があります。
x^2の項が0だと二次方程式とは言えず、２つの解は現れません。
なので、k+1≠0となりますから、k≠-1です。
(k=-1のときは直線の式になってしまいます)
よって、kの範囲はk=-1を除くk<1/2、とか
k<-1,-1<k<1/2とかでいいでしょう。
また、実数解の差が2√5のときとありますが……
これはさっきの判別式を再利用します。
(k-2)^2-(k+1)^2=-6k+3でした。
ここで、これは解のうち、ルートの中身の値です。
差が2√5ということは、±√5となればいいです。
解の公式で当てはめると分かりますが、±が付く項は、
±√(-6k+3)／(k+1)
になっています。
k+1をルートの中に入れて、
√{-6k+3／(k+1)^2}
よって、
-6k+3／(k+1)^2=5
となればいいことになります。
これを解くと、kの二次方程式で、
k=(-8±3√6)/5
となります。これが解です。